房貸中我們都會遇到等額本金，等額本息貸款這個問題，貸款方式選擇哪一個比較好，每個人的主觀感受都不一樣，我們先從數(shù)學(xué)的角度，來詳細的推導(dǎo)一下相關(guān)的公式。
首先要明白，一般銀行貸款在放貸之后次月開始讓購房者開始還貸款，銀行每個月從貸款者卡上扣除的金額都包含兩部分，一部分是一定數(shù)量的本金，一部分是一定數(shù)量的利息。
等額本息定義：等額本息是在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款。簡單說把還款期內(nèi)所要還的本金和利息都計算出來，然后平均數(shù)額到每個月里面。本金加利息的總和每個月都相同，銀行每個月都按照約定時間從貸款者的銀行卡上扣這個固定金額的錢。
等額本金定義：等額本金是在還款期內(nèi)把貸款本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息。簡單的說就是每個月銀行從貸款者的卡上扣除的（應(yīng)償還的本金加利息之和）金額都是不一樣的，但是每個月償還的本金部分都是一樣的。
等額本息相關(guān)的公式
等額本息每期還款公式
推導(dǎo)方法一 光看剩余總本金
第一期還款時間是貸款放款之日，次月相同之日，所以包含了整個貸款本金一個月的利息，每期還款額都為X ，所以第一期還款完成之后剩余本金為：
第一期A（1＋P）-X
以此類推，
第二期（1＋P）-X＝A(1＋P)^2-X
第三期{(1＋P）-X}（1＋P）-X ＝A(1+P)^3-X
…
由此可得第n個月后所欠銀行貸款為
A(1+P)^n–X
這個也可以采用數(shù)學(xué)歸納法驗證一下,結(jié)論是正確的。
由此可見中括號內(nèi)是一個首項a1為1，公比q為1+P的等比數(shù)列求和
公比q≠1，所以套用等比數(shù)列求和公式
Sn =a1（(q^n) -1）/( q-1),
第n個月后所欠銀行貸款簡化為A(1+P)^n–X/P
這里要注意: (1+P)^(n-1)是數(shù)列中的n項,不要搞錯了。
由于還款總期數(shù)為m，也即第m月剛好還完銀行所有貸款，因此有
A(1+P)^m–X/P=0
由此求得
X=AP(1+P)^m/
推導(dǎo)方法二 根據(jù)每月應(yīng)還利息、本金、剩余本金正推
來看另外一種方法，把每個月的利息，本金，剩余本金都用公式表達出來。設(shè)貸款額為A，月利率為P，還款月數(shù)為m，每月還款額為X
第一個月還款的利息AP
第一個月剩余本金A
第一個月償還本金X-AP
第二個月還款的利息
(A-X+AP)P
=AP-XP+AP^2
=AP(1+P)-XP
注意這里，我們要設(shè)法進一步因式分解，進一步提?。?+P），使用增項法，減去一個X再加上一個X得到
= AP(1+P)-XP-X+X,調(diào)整一下X的位置，得到
=AP(1+P)-X-XP+X
=AP(1+P)-X(1+P)+X
=(1+P)(AP-X) +X
第二個月償還本金
X-
=X-(1+P)(AP-X)–X
=-(1+P)(AP-X)
=(X-AP)(1+P)
第二個月剩余本金
A-(X-AP)-(X-AP)(1+P)
=A-(X-AP)
第三個月還款的利息
{A-(X-AP)}P
=P
=AP-(X-AP)(2P+P^2)增項得到
=AP-(X-AP)(2P+P^2)-X+X
=(AP-X)(1+2P+ P^2)+X
=(AP-X)(1+P)^2 +X
第三個月償還本金
=X-
= -(AP-X)(1+P)^2
=(X-AP)(1+P)^2
第三個月剩余本金
= A-(X-AP)-(X-AP)(1+P)-(X-AP)(1+P)^2
= A-(X-AP)
…
由此可以推斷：
第n個月當(dāng)月還款的利息
(AP-X)+X
第n個月當(dāng)月還款本金
(X-AP)
第n個月剩余總本金
A-(X-AP)后面括號是等比數(shù)列求和,(1+P)^( n-1)是數(shù)列的第n項。得到下面的結(jié)果
A-(X-AP) /P
順便驗證一下最后一個月的剩余本金為0即n=m則
A-(X-AP) /P=0
AP=(X-AP)
AP=X- AP
AP+AP = X
X= AP+AP
X= AP{1+ }
最終得到
X=AP(1+P)^m/
與上面方法推導(dǎo)的結(jié)論完全相同。這些結(jié)論都可以用數(shù)學(xué)歸納法來驗證。
前n個月償還的總利息為：
(AP-X)+X+(AP-X)(1+P)+X+(AP-X)(1+P) 2+X+…(AP-X)(1+P) n-1+X
=nX+(AP-X)/P
前n個月償還的總本金為：
總本金-剩余本金
A- {A-(X-AP) /P}
=(X-AP) /P
等額本金的相關(guān)公式推導(dǎo)就簡單多了
等額本金還款公式
設(shè)貸款總額為A，銀行月利率為P，總期數(shù)為M（個月），月還款額設(shè)為X，每月還款固定本金為B，
月供本金=貸款總額/總期數(shù) B=A/M
月還款=月供本金+月利息
月利息=（貸款總額-已還本金）×月利率
第一個月 已還本金=0 月利息=AP
第二個月 已還本金=B 月利息=(A-B)P
第三個月 已還本金=2B 月利息=(A-2B)P
第四個月 已還本金=3B 月利息=(A-3B)P
…
第n個月 已還本金=(n-1)B 月利息=P
第n個月還款額
X=B+P
X= A/M +P
第n個月月利息=P
支付總利息為：
=AP+(A-B)P+(A-2B)P+…P
= AP+AP-BP+AP-2BP+…AP-（n-1）BP
= AP+AP+…+AP-BP-2BP-…-（n-1）BP
=nAP- BP
后面括號里面是一個等差數(shù)列，求和得到
= nAP- BP
= {nA-B} P
= {nA- A/M }P
即總利息={貸款總額×n－月供本金×?}×貸款月利率
結(jié)論：
等額本息相關(guān)公式
設(shè)貸款總額為A，銀行月利率為P，總期數(shù)為m（個月），月還款額設(shè)為X。
每月還款本息總金額X=AP(1+P)^m/
第n個月當(dāng)月還款的利息=(AP-X)+X
第n個月當(dāng)月還款本金=(X-AP)
第n個月剩余總本金=A-(X-AP) /P
前n個月償還的總利息= nX+(AP-X)/P
前n個月償還的總本金=(X-AP) /P
等額本金相關(guān)公式
設(shè)貸款總額為A，銀行月利率為P，還款總期數(shù)為M（個月）
第n個月的還款金額=A/M+P
第n個月月利息=P
前n個月總利息={貸款總額×n－月供本金×?}×貸款月利率
前n個月總利息= {nA- A/M }P
注意：上面的全是利率全部都是月利率，一般銀行給的都是年利率，需要轉(zhuǎn)化成月利率再帶入公式計算。